Question

（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性．

Answer 1

分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；
（2）由于x是[0，

π

2

]范围内的角，得到2x+

π

4

的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性．

解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+

π

4

）=2

2

sinωx•cosωx+2

2

cos²ωx
=

2

（sin2ωx+cos2ωx）+

2

=2sin（2ωx+

π

4

）+

2

，
所以 T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

4

）+

2

，
因为0≤x≤

π

2

，所以

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
当

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

时，即0≤x≤

π

8

时，f（x）是增函数，
当

π

2

≤2x+

π

4

≤

5π

4

时，即

π

8

≤x≤

π

2

时，f（x）是减函数，
所以f（x）在区间[0，

π

8

]上单调增，在区间[

π

8

，

π

2

]上单调减．

点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．