Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）探索函数f（x）的单调性，并写出探索过程；
（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在求出a的值，不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由2^x＞0可求得函数定义域，根据指数函数的值域及反比例函数的值域可求得f（x）的值域；
（2）利用指数函数、反比例函数的单调性可作出判断；
（3）先设f（x）为奇函数，然后根据奇函数性质可得f（-x）=-f（x），由此刻求得a值，代入a值再检验；

解答：解：（1）∵2^x＞0，
∴f（x）的定义域为R，
由2^x＞0，得2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴a-2＜a-

2

2x+1

＜a，即a-2＜f（x）＜a，
∴f（x）的值域为（a-2，a）；
（2）∵y=2^x单调递增，
∴y=

2

2x+1

单调递减，y=-

2

2x+1

单调递增，
∴f（x）=a-

2

2x+1

单调递增；
（3）若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
∴a-

2

2-x+1

=-(a-

2

2x+1

)，即2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2•2x

1+2x

=2，
∴a=1，
当a=1时f（x）=1-

2

2x+1

，经验证f（-x）=-f（x）成立．
故存在实数a=1使f（x）为奇函数．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，考查函数定义域、值域的求解，属基础题，定义是解决函数性质的基本方法，熟记基本函数定义域、值域是解决相关问题的基础．