Question

【题目】如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．点M为线段BC的中点，点P是线段BB1中点． （Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；
（Ⅱ）求二面角P﹣AM﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2， 直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，
∴∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，
∴∠BAC=90°，即AC⊥AB，
又∵AC⊥AA1 ， 且AB∩AA1=A，
∴AC⊥平面AA1B1B，
由已知A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面AA1B1B，
∵AP平面AA1B1B，∴A1C1⊥AP．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC，AB，AA1两两垂直，
分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴，建立空间直角系，
由已知得AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2），
∵M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，
∴M（1，1，0），P（0， ，1），
平面ABM的一个法向量 =（0，0，1），
设平面APM的一个法向量 =（x，y，z），
则 ，取x=2，得 =（2，﹣2，3），
由图知二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，
设二面角P﹣AM﹣B的平面角为θ，
则cosθ= = = ，
∴二面角P﹣AM﹣B的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥AB，AC⊥AA1 ， 从而AC⊥平面AA1B1B，由A1C1∥AC，知A1C1⊥平面AA1B1B，由此能证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P﹣AM﹣B的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．