Question

（2010•台州一模）已知向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），函数f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），（m为正实数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移

π

6

个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．

Answer 1

分析：（1）向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），代入f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式，求出它的周期，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可．
（2）横坐标扩大到原来的两倍，得2sin(x+

π

6

)，向右平移

π

6

个单位，得2sin[(x-

π

6

)+

π

6

]，从而可求g（x）的解析式，利用函数g（x）的最值结合图象即可得出答案．

解答：解：（1）f(x)=m(

a

•

b

+

3

sin2x)=m(sin(x+

π

2

)cosx-sin 2x+

3

)sin2x]
=m(cos2x-sin 2x+

3

sin2x)
=2msin(2x+

π

6

)…（2分）
由m＞0知，函数f（x）的最小正周期T=π．（4分）
又2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，（k∈Z）..（5分）
所以函数的递减区间是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）（6分）
（2）横坐标扩大到原来的两倍，得2msin(x+

π

6

)，
向右平移

π

6

个单位，得2msin[(x-

π

6

)+

π

6

]，
所以：g（x）=2msinx．…（7分）
由  0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m  …（8分）
所以当0＜m＜

1

2

时，y=g（x）与y=1无交点
当m=

1

2

时，y=g（x）与y=1有唯一公共点
当m＞

1

2

时，y=g（x）与y=1有两个公共点   …（12分）

点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的周期以及单调增区间的求法，三角函数的图象的平移，是常考题型．