Question

19．在（1+x+x²）ⁿ=D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ的展开式中，把D${\;}_{n}^{0}$，D${\;}_{n}^{1}$，D${\;}_{n}^{2}$，…，D${\;}_{n}^{2n}$叫做三项式系数．
（Ⅰ）当n=2时，写出三项式系数D${\;}_{2}^{0}$，D${\;}_{2}^{1}$，D${\;}_{2}^{2}$，D${\;}_{2}^{3}$，D${\;}_{2}^{4}$的值；
（Ⅱ）二项式（a+b）ⁿ（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图：当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；
（Ⅲ）求D${\;}_{2016}^{0}$C${\;}_{2016}^{0}$-D${\;}_{2016}^{1}$C${\;}_{2016}^{1}$+D${\;}_{2026}^{2}$C${\;}_{2016}^{2}$-D${\;}_{2016}^{3}$C${\;}_{2016}^{3}$+…D${\;}_{2016}^{2016}$C${\;}_{2016}^{2016}$的值（可用组合数作答）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三项式（x²+x+1）²的展开式，写出对应三项式的系数即可；
（Ⅱ）类比杨辉三角，画出三项式的n（0≤n≤4）次系数的数阵表：
（Ⅲ）根据（1+x+x²）²⁰¹⁶•（x-1）²⁰¹⁶的展开式中x²⁰¹⁶的系数，与二项式（x³-1）²⁰¹⁶展开式中x²⁰¹⁶的系数相等，求出对应代数式的值．

解答 解：（Ⅰ）因为（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
所以${D}_{2}^{0}$=1，${D}_{2}^{1}$=2，${D}_{2}^{2}$=3，${D}_{2}^{3}$=2，${D}_{2}^{4}$=1；…（3分）
（Ⅱ）类比杨辉三角，画出三项式的n（0≤n≤4）次系数的数阵表如下：
 …（6分）
（Ⅲ）（1+x+x²）²⁰¹⁶•（x-1）²⁰¹⁶
=（${D}_{2016}^{0}$+${D}_{2016}^{1}$x+${D}_{2016}^{2}$x²+…+${D}_{2016}^{r}$x^r+…+${D}_{2016}^{4029}$x⁴⁰²⁹+${D}_{2016}^{4030}$x⁴⁰³⁰）
•（${C}_{2016}^{0}$x²⁰¹⁶-${C}_{2016}^{1}$x²⁰¹⁵+${C}_{2016}^{2}$x²⁰¹⁴-${C}_{2016}^{3}$x³+…+（-1）^r${C}_{2016}^{r}$x^2016-r+…-${C}_{2016}^{2015}$x+${C}_{2016}^{2016}$），
其中x²⁰¹⁶的系数为
${D}_{2016}^{0}$${C}_{2016}^{0}$-${D}_{2016}^{1}$${C}_{2016}^{1}$+${D}_{2016}^{2}$${C}_{2016}^{2}$-${D}_{2016}^{3}$${C}_{2016}^{3}$+…+${D}_{2016}^{2016}$${C}_{2016}^{2016}$，
又（1+x+x²）²⁰¹⁶•（x-1）²⁰¹⁶=（x³-1）²⁰¹⁶，
而二项式（x³-1）²⁰¹⁶的通项公式为
T_r+1=（-1）^r${C}_{2016}^{r}$（x³）^2016-r，
由3×（2016-r）=2016解得r=1344，
所以x²⁰¹⁶系数为${C}_{2016}^{1344}$=${C}_{2016}^{672}$；
由代数式恒成立，得
${D}_{2016}^{0}$${C}_{2016}^{0}$-${D}_{2016}^{1}$${C}_{2016}^{1}$+${D}_{2016}^{2}$${C}_{2016}^{2}$-${D}_{2016}^{3}$${C}_{2016}^{3}$+…+${D}_{2016}^{2016}$${C}_{2016}^{2016}$=${C}_{2016}^{1344}$=${C}_{2016}^{672}$．…（14分）

点评 本题考查了推理与证明的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，考查了构造函数解答问题的能力，是综合性题目．