Question

已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）(－∞，3]   （2）254   （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)

解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m<2；
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得，解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．
(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为2⁸－2＝254.

(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得，
或，解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．