Question

已知a＜0，则x₀为函数f（x）=2ax-b的零点的充要条件是（　　）

• A、?x∈R，ax²-bx≥ax₀²-bx₀
• B、?x∈R，ax²-bx≤ax₀²-bx₀
• C、?x∈R，ax²-bx≥ax₀²-bx₀
• D、?x∈R，ax²-bx≤ax₀²-bx₀

Answer 1

分析：由题意可得函数对应的开口向下，并且当x=

b

2a

时，y取得最大值-

b2

4a

．结合x₀满足关于x的方程2ax=b与二次函数的性质可得：对于任意的x∈R，都有y=ax²-bx≤-

b2

4a

=ax02-bx0．

解答：解：由于a＜0，令函数y=ax2-bx=a(x-

b

2a

)2-

b2

4a

，此时函数对应的开口向下，
当x=

b

2a

时，y取得最大值-

b2

4a

．
因为x₀为函数f（x）=2ax-b的零点，
所以x₀满足关于x的方程2ax=b．
所以有x₀=

b

2a

时，y_max=ax02-bx0=-

b2

4a

，
那么对于任意的x∈R，都有y=ax²-bx≤-

b2

4a

=ax02-bx0．
故选D．

点评：本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．