Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，2p）时，|AB|=4

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，求此时抛物线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x₀=x₁+x₂．判断出三者的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得x₀，代入椭圆和直线的方程整理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，表示出直线AB的斜率，最后利用弦长公式建立等式求得p，则抛物线的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意设A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)，x1＜x2，M(x0，-2p)．
由x²=2py得y=

x2

2p

，得y′=

x

p

，
所以kMA=

x1

p

，kMB=

x2

p

．
因此直线MA的方程为y+2p=

x1

p

(x-x0)，直线MB的方程为y+2p=

x2

p

(x-x0)．
所以

x 2 1

2p

+2p=

x1

p

(x1-x0)，①

x 2 2

2p

+2p=

x2

p

(x2-x0)．②
由①、②得

x1+x2

2

=x1+x2-x0，因此x0=

x1+x2

2

，即2x₀=x₁+x₂．
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时，
将其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的两根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，又kAB=

x 2 2 2p - x 2 1 2p

x2-x1

=

x1+x2

2p

=

x0

p

，所以kAB=

2

p

．
由弦长公式得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 4 p2

16+16p2

．又|AB|=4

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，
所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x²=2y或x²=4y．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．注重了考生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力．