Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）依据三视图的数据，以及位置关系，直接求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）连接AC，证明BD⊥平面PAC，说明不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
（3）点E为PC的中点，在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF，说明∠DFB为二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P-ABCD的体积为

2

3

．（5分）
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．（2分）
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PC=

1

3

×12×2=

2

3

，

（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（7分）
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．（9分）
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．（11分）
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．（12分）

（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，DE=BE=

12+12

=

2

，AE=AE=

3

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．（15分）
在Rt△ADE中，DF=

AD•DE

AE

=

1× 2

3

=BF，
又BD=

2

，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB=

DF2+BF2-BD2

2DF•BF

=

2× 2 3 -2

2× 2 3

=-

1

2

，（18分）
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小为120°．（20分）

点评：本题考查由三视图求面积、体积，二面角及其度量，考查知识的灵活运用能力，计算能力，转化思想，是中档题．