Question

【题目】【2017南通一模19】已知函数。

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若，证明：函数有且只有一个零点；

（3）若函数又两个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）当时，，

所以，

令=0，得，

当时，<0，当时，>0，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，有最小值；

（2）由，得：

所以当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数在上最多有一个零点，

又当时，，

所以当时，函数在上有零点，

综上，当时，函数有且只有一个零点；

（3）由（2）知：当时，函数在上最多有一个零点，

因为函数有两个零点，所以，9分

由，得：

令，因为，

所以函数在上有且只有一个零点，设为，

当时，<0，<0，当时，>0，>0，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

要使得函数在上有两个零点，只需要函数的最小值，

即，又因为，

消去得：，

又因为在上单调递增，且，所以>1，

则，因为，所以，

所以2在上单调递增，所以，13分

以下验证当时，函数有两个零点。

当时，，所以，

因为，且，

所以函数在上有一个零点，

又因为（因为），且，

所以函数在上有一个零点，

所以当时，函数在上有两个零点。

综上，实数的取值范围是。1