Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=

5

13

，且a，b，c成等比数列．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）若accosB=12，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）先根据题意得到b²=ac，结合正弦定理得到sinAsinC=sin2B=

25

169

．，将

1

tanA

+

1

tanC

化为弦的形式，然后通分得到

1

tanA

+

1

tanC

=

sinB

sinAsinC

，最后sinAsinC=sin2B=

25

169

．代入即可得到答案．
（2）先根据accosB=12知cosB＞0，再由sinB的值求出cosB的值，最后根据余弦定理可确定a，c的关系，从而确定答案．

解答：解：（1）依题意，b²=ac，
由正弦定理及sinB=

5

13

，得sinAsinC=sin2B=

25

169

．

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

5

13

×

169

25

=

13

5

．
（2）由accosB=12知cosB＞0．
由sinB=

5

13

，得cosB=±

12

13

．（舍去负值）
从而，b2=ac=

12

cosB

=13．
由余弦定理，得b²=（a+c）²-2ac-2accosB．
代入数值，得13=(a+c)2-2×13×(1+

12

13

)．
解得：a+c=3

7

．

点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用．正余弦定理是解三角形的基础，对于其公式一定要熟练掌握并能够熟练应用．