【题目】已知函数f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)设f(x)有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求证:﹣5﹣f(x1)<f(x2)<﹣ .
【答案】
(1)解:∵f′(x)= ,∴f′(1)=4﹣2a,
由题意4﹣2a=﹣ ,解得:a=
(2)解:证明:由题意,x1,x2为f′(x)=0的两根,
∴ ,∴2<a<3,
由x1+x2=a>2,x1x2=3﹣a<1,知x1<1<x2,
结合单调性有f(x2)<f(1)= ﹣a<﹣ ,
又f(x1)+f(x2)= ( + )﹣a(x1+x2)+(3﹣a)lnx1x2=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),
设h(a)=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),a∈(2,3),
则h′(a)=﹣a﹣ln(3﹣a),
h″(a)= >0,故h′(a)在(2,3)递增,又h′(2)=﹣2<0,
a→3时,h′(a)→+∞,
∴a0∈(2,3),当a∈(2,a0)时,h(a)递减,当a∈(a0,3)时,h(a)递增,
∴h(a)min=h(a0)=﹣ +a0﹣3+(3﹣a0)(﹣a0)= ﹣2a0﹣3>﹣5,
∴a∈(2,3),h(a)>﹣5,
综上,﹣5﹣f(x1)<f(x2)<﹣
【解析】(1)求出函数的导数,根据f′(1)的值,求出a的值;(2)根据x1 , x2是方程f′(x)=0的根,得到关于a的不等式组,求出a的范围,求出f(x1)+f(x2)的表达式,设h(a)=﹣ a2+a﹣3+(3﹣a)ln(3﹣a),a∈(2,3),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.
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【题目】设p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0; q:实数x满足 <0.
(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】过点作曲线(其中为自然对数的底数)的切线,切点为,设在轴上的投影是点,过点再作曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是点,依次下去,得到第个切点,则点的坐标为________.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的左右顶点为,右焦点为,一条准线方程是,点为椭圆上异于的两点,点为的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线交直线于点,记直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值;
(3)若,求直线斜率的取值范围。
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【题目】设函数f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集;
(Ⅱ)若x∈R,f(x)≥t2﹣ t恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤,问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金 ,第2关收税金为剩余金的 ,第3关收税金为剩余金的 ,第4关收税金为剩余金的 ,第5关收税金为剩余金的 ,5关所收税金之和,恰好重1斤,问原来持金多少?”若将题中“5关所收税金之和,恰好重1斤,问原来持金多少?”改成假设这个原来持金为x,按此规律通过第8关,则第8关需收税金为x.
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【题目】已知椭圆:的四个顶点围成的四边形的面积为,原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,是否存在过的直线,使与椭圆交于,两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在,求出的方程:若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为( )
A.( , ]
B.( , ]
C.( , ]
D.( , ]
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