Question

9．命题P：关于x的不等式x²+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{a-4}$+$\frac{{y}^{2}}{a+2}$=1表示双曲线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题P：关于x的不等式x²+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，可得△＜0，解得a范围．命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{a-4}$+$\frac{{y}^{2}}{a+2}$=1表示双曲线，可得（a-4）（a+2）＜0，解得a范围．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命题P：关于x的不等式x²+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{a-4}$+$\frac{{y}^{2}}{a+2}$=1表示双曲线，∴（a-4）（a+2）＜0，解得-2＜a＜4．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≤-2或a≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{-2＜a＜4}\end{array}\right.$，
解得a∈∅或2≤a＜4．
∴实数a的取值范围是[2，4）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、双曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．