Question

已知函数f（x）是y=

2

10x+1

-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=-

1

x+2

的图象关于直线x=-2成轴对称图形，设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．由此可知g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．从而得到F（x）的解析式及定义域．
（2）由f（x）和g（x）都是减函数，知F（x）在（-1，1）上是减函数．由此可知不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．

解答：解：（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，x=lg

1-y

1+y

．
∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．
由题设知点P′（-4-x，y）在函数y=-

1

x+2

的图象上，
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）设F（x）上不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂ y₂），-1＜x₁＜x₂＜1
则y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=lg

1-x1

1+x1

+

1

x1+2

-lg

1-x2

1+x2

-

1

x2+2

=lg(

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

)+(

1

x1+2

-

1

x2+2

)
=lg(

1+x2

1+x1

•

1-x1

1-x2

)+

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

．
由-1＜x1＜x2＜1    得

1+x2

1+x1

＞1，

1-x1

1-x2

＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，
所以lg(

1+x2

1+x1

•

1-x1

1-x2

)＞0，

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0，y₁＞y₂，
即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．

点评：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了．