Question

4．设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥t²-t在x∈[0，1]时有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）问首先将f（x）转化为分段函数，然后分段讨论使得f（x）≤2成立的x的取值集；
（2）问f（x）≥t²-t在x∈[0，1]时有解?f（x）_max≥t²-t，需要求f（x）_max．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x-3，（x≤-\frac{1}{2}）\\ 3x-1，（-\frac{1}{2}＜x＜2）\\ x+3，（x≥2）\end{array}\right.$，
由f（x）≤2，
解得$\left\{\begin{array}{l}x≤-\frac{1}{2}\\-x-3≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}＜x＜2\\ 3x-1≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ x+3≤2\end{array}\right.$，
故所求解集为x∈[-5，1]；
（2）依题意得f（x）≥t²-t在x∈[0，1]时有解
?f（x）_max≥t²-t，
∵x∈[0，1]，f（x）=3x-1，
f（x）_max=2，
则t²-t≤2⇒-1≤t≤2．

点评 考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．