Question

已知圆C：x²+y²+2mx+4y+2m²-3m=0，若过点（1，-2）可作圆的切线有两条，则实数m的取值范围是（　　）

• A．(-∞，-1)∪(

  3

  2

  ，+∞)
• B．（-1，4）
• C．(

  3

  2

  ，4)
• D．(-1，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：把圆C的方程化为标准方程，表示出圆心C的坐标和半径r，且根据被开方数大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，再由过点A（1，-2）可作圆的两条切线，可得出点A在圆C外，即|AC|小于r，利用两点间的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，找出两解集的公共部分即可得到实数m的取值范围．

解答：解：把圆C的方程化为标准方程得：（x+m）²+（y+2）²=-m²+3m+4，
∴圆心C坐标为（-m，-2），半径r=

-m2+3m+4

，且-m²+3m+4＞0，
∴m²-3m-4＜0，即（m-4）（m+1）＜0，解得：-1＜m＜4，
∵过点A（1，-2）可作圆的切线有两条，
∴点A在圆外，
∴|AC|＞r，即

(m+1)2+02

＞

-m2+3m+4

，
两边平方，整理得：2m²-m-3＞0，即（2m-3）（m+1）＞0，
可化为：

2m-3＞0 m+1＞0

或

2m-3＜0 m+1＜0

，
解得：m＞

3

2

或m＜-1，又-1＜m＜4，
∴

3

2

＜m＜4，
则实数m的取值范围为（

3

2

，4）．
故选C

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：圆的标准方程，二元二次方程构成圆的条件，两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，其中根据过点（1，-2）可作圆的切线有两条得出此点在圆外是解本题的关键．