Question

17．求下列函数的值域：
（1）=$\frac{{x}^{2}}{3-x}$，x∈[-1，1]；
（2）y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-3x+1}$（x＞1）．

Answer 1

分析 （1）可将原函数变成$y=\frac{{x}^{2}-9+9}{3-x}=（3-x）+\frac{9}{3-x}-6$，这样根据基本不等式即可得出该函数的值域；
（2）可根据原函数得到，yx²-3y+y=x-1，进一步整理得到，yx²-（3y+1）x+y+1=0，可看成关于x的方程，方程在（1，+∞）有解，容易说明y≠0，并且能求得△＞0，可设f（x）=yx²-（3y+1）x+y+1，从而y要满足$\left\{\begin{array}{l}{y＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{y＜0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，这样解不等式组即可得出原函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{{x}^{2}}{3-x}=\frac{{x}^{2}-9+9}{3-x}=-（x+3）+\frac{9}{3-x}$=$（3-x）+\frac{9}{3-x}-6$；
∵x∈[-1，1]；
∴3-x＞0；
∴$（3-x）+\frac{9}{3-x}≥6$，当$3-x=\frac{9}{3-x}$即，x=0时取“=”；
0∈[-1，1]，即等号能取到；
∴y≥0；
∴原函数的值域为[0，+∞）；
（2）由原函数得：yx²-3yx+y=x-1；
整理成，yx²-（3y+1）x+y+1=0①，可看成关于x的方程，方程在（1，+∞）上有解；
y=0时，-x+1=0，x=1，不满足x＞1；
∴y≠0；
∵△=（3y+1）²-4y（y+1）=（y+1）²+4y²＞0，设f（x）=yx²-（3y+1）x+y+1；
∴根据方程①在（1，+∞）上有解得：$\left\{\begin{array}{l}{y＞0}\\{f（1）=-y＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{y＜0}\\{f（1）=-y＞0}\end{array}\right.$；
∴y＞0，或y＜0；
∴原函数的值域为{y|y≠0}．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法的运用，基本不等式在求值域中的运用，注意基本不等式满足的条件，并判断能否取到等号，将函数解析式整理成关于x的方程的形式，由方程有解求函数值域的方法，一元二次方程的解和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象．