Question

．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；
（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．     ----------------1分
∵长轴长为,离心率，∴．
所求椭圆方程为．                        ----------------4分
（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为，所以直线的方程为．
设，
由     得 ，解得．
∴．        ---------------9分
（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为．
由  可得．
∴．
，

因为以为邻边的平行四边形是矩形.
由得，
.
所求直线的方程为． ----------------13分   

略