Question

若不等式x⁴-4x³＞2-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围    ．

Answer 1

【答案】分析：不等式恒成立，即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值．因此记不等式的左边为F（x），利用导数工具求出它的单调性，进而得出它在R上的最小值，最后解右边2-a小于这个最小值，即可得出答案．
解答：解：记F（x）=x⁴-4x³
∵x⁴-4x³＞2-a对任意实数x都成立，
∴F（x）在R上的最小值大于2-a
求导：F′（x）=4x³-12x²=4x²（x-3）
当x∈（-∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（-∞，3）上是减函数；
当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数．
∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值
即[F（x）]_min=F（3）=-27
因此当2-a＜-27，即a＞29时，等式x⁴-4x³＞2-a对任意实数x都成立
故答案为：（29，+∞）
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．