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19.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量$\overrightarrow{m}$=(2b-c,a),$\overrightarrow{n}$=(sin2C,sinC),且满足$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,
(I)求角A;
(Ⅱ)若a=3,试求b+c的取值范围.

分析 (I)由向量平行可得(2b-c)sinC=asin2C,解结合正弦定理和三角函数知识可得cosA=$\frac{1}{2}$,可得A=$\frac{π}{3}$;
(Ⅱ)可得C=$\frac{2π}{3}$-B,由正弦定理可得b+c=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC,可化简为6sin(B+$\frac{π}{6}$),由0<B<$\frac{2π}{3}$和三角函数的值域可得.

解答 解:(I)∵$\overrightarrow{m}$=(2b-c,a),$\overrightarrow{n}$=(sin2C,sinC),且满足$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,
∴(2b-c)sinC=asin2C,∴(2b-c)sinC=2asinCcosC,
∴2b-c=2acosC,∴2sinB-sinC=2sinAcosC,
∴2sin(A+C)-sinC=2sinAcosC,
∴2sinAcosC+2cosAsinC-sinC=2sinAcosC,
∴2cosAsinC=sinC,即cosA=$\frac{1}{2}$,
∴角A=$\frac{π}{3}$;
(Ⅱ)∵a=3,A=$\frac{π}{3}$,∴C=$\frac{2π}{3}$-B,
由正弦定理可得$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$,
∴b+c=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin($\frac{2π}{3}$-B)
=2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB)
=2$\sqrt{3}$($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{3}{2}$sinB)
=6($\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB)
=6sin(B+$\frac{π}{6}$),
∵0<B<$\frac{2π}{3}$,∴$\frac{π}{6}$<B+$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,
∴$\frac{1}{2}$<sin(B+$\frac{π}{6}$)≤1,
∴3<6sin(B+$\frac{π}{6}$)≤6,
∴b+c的取值范围为(3,6]

点评 本题考查解三角形,涉及向量平行和正弦定理以及三角函数的值域,属中档题.

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