Question

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的导数可确定f（x）的表达式，先确定函数在区间[-1，1]上的单调性，从而确定了最值建立了关于a，b的方程，即可求得其值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得到了函数的解析式，确定点P（2，1）的位置：在函数的图象上，对P是否为切点讨论，利用导数求切线的斜率，可得切线方程．（Ⅲ）先求出F'（x），通过对其符号的探讨得函数的单调性，从而确定极值点的个数．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，f(x)=x3-

3

2

ax2+b
由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．
又f(1)=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f(-1)=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1）．，即-

3

2

a=-2，得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1为所求．

（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f'（x）=3x²-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切线l的斜率k=f′(x)|x=x0=3

x

2 0

-4x0，
∴l的方程为y-y₀=（3x₀²-4x₀）（x-x₀）．
又点P（2，1）在l上，∴1-y₀=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴1-（x₀³-2x₀²+1）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²（2-x₀）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²=3x₀²-4x₀，即2x₀（x₀-2）=0，∴x₀=0．∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，
所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）

（Ⅲ）解：F（x）=（3x²-3ax+6x+1）•e^2x=[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x．
∴F'（x）=[6x-3（a-2）]•e^2x+2[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x=[6x²-6（a-3）x+8-3a]•e^2x．
二次函数y=6x²-6（a-3）x+8-3a的判别式为△=36（a-3）²-24（8-3a）=12（3a²-12a+11）=12[3（a-2）²-1]，
令△≤0，得：(a-2)2≤

1

3

，2-

3

3

≤a≤2+

3

3

．
令△＞0，得a＜2-

3

3

，或a＞2+

3

3

．
∵e^2x＞0，1＜a＜2，
∴当2-

3

3

≤a＜2时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；
当1＜a＜2-

3

3

时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．

点评：本题考查导数在最大值，最小值中的应用，学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值及极值，注意分类讨论思想方法的体现．