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    设函数f(x)=x+
    λx
    ，常数λ＞0．
    （1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；
    （2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取值范围．
    分析：（1）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后通过化简判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据单调性的定义进行判定即可；
    （2）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后根据单调性得到f（x1）-f（x2）＜0恒成立，从而可求出所求．
    解答：解：（1）f（x）=x+
    1
    x
    ，?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
    f（x1）-f（x2）=（x1+
    1
    x1
    ）-（x2+
    1
    x2
    ）=（x1-x2）
    x1x2-1
    x1x2
    …（3分）
    ∵x1，x2∈[1，4]，x1＜x2
    ∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＞0
    ∴f（x1）-f（x2）＜0
    ∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．…（6分）
    （2）?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
    f（x1）-f（x2）=（x1+
    λ
    x1
    ）-（x2+
    λ
    x2
    ）=（x1-x2）
    x1x2-λ
    x1x2
    …（8分）
    ∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增
    ∴f（x1）-f（x2）＜0
    ∵1≤x1＜x2≤4，
    ∴x1x2-λ＞0对?x1，x2∈[1，4]且x1＜x2恒成立…（10分）
    即λ＜x1x2
    ∴λ≤1
    ∵λ＞0
    ∴0＜λ≤1…（12分）
    点评：本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数根据单调性求参数范围，同时考查了计算能力，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=p（x-
    1
    x
    ）-2lnx，g（x）=
    2e
    x
    （p是实数，e为自然对数的底数）
    （1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
    （2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
    （3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：
    ①函数f(x)=(
    12
    )x    为R上的l高调函数；
    ②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
    ③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；
    其中正确的命题是
    ②③
    ②③
    （填序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
    ①f(-
    3
    4
    ) ＜f(
    15
    2
    )    ；
    ②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
    ③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
    ④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
    其中真命题的个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源：徐州模拟 题型：解答题

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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