Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2﹣2ax+1，a∈R；
（1）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣2，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，

∵f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，

∴a≤﹣1或a≥2，

故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）

（2）解：∵不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，

∴△=4a2﹣4＜0，

解得﹣1＜a＜1，

故a的取值范围为（﹣1，1）

（3）解：二次函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，

当a≤1时，函数在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时函数取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，

当a＞1时，函数在区间[1，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，

当x=a时函数取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a= ，或a=﹣ （舍去），

综上所述，a= ．

【解析】1、本题考查的是二次函数的单调性，f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，（﹣1，2）是单I调区间的一部分，所以a≤﹣1或a≥2。
2、本题考查的是二次函数的图像和性质f（x）＞0对任x∈R上恒成立，△=4a2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜1。
3、本题考查的是二次函数的最值情况，二次函数f（x）=x2﹣2ax+1，当a≤1时，函数在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时函数取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，当a＞1时，函数在区间[1，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，当x=a时函数取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a= 3 ，或a=﹣ 3 （舍去），所以a= .
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．