Question

（文）已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）≥mx²-2x+2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：第1问主要利用导数的几何意义，在-1处的函数值是1，导数值是切线的斜率4，解方程组可求出a，b．第2问因为x＞0，所以可以先分离变量再构造函数，问题转化为让函数在x＞0时的最小值大于m；法一：因为x＞0，且出现x+

1

x

，所以可用基本不等式求函数最小值；法二：利用导数求函数最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b
由题意得：

f′(-1)=4 f(-1)=1

即

3-2a+b=4 -1+a-b+2=1

解得：a=b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2
∵f（x）≥mx²-2x+2，
∴mx²≤x³-x²+x．
∵x＞0，
∴m≤

x3-x2+x

x2

，即m≤x+

1

x

-1，
法一：令g(x)=x+

1

x

-1（x＞0）∴g(x)≥2

x• 1 x

-1=2-1=1，
当且仅当x=

1

x

时取等号，即x=1时，g（x）_min=1，
∴m≤1
法二：令g(x)=x+

1

x

-1（x＞0）∴g'（x）=1-x^-2=0得x=1，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
当x=1时，g（x）_min=1，∴m≤1

点评：本题主要考查了导数的几何意义，及给定区间上的恒成立问题，一般都可转化为求一个函数在这个区间上的最值问题．最值常用导数、基本不等式等等．