Question

在平面直角坐标系中，已知△ABC的两个顶点B（-3，0），C（3，0）且三边AC、BC、AB的长成等差数列，求点A的轨迹方程．

Answer 1

分析：由题意，点A到B、C两点的距离之和等于2|BC|=12，根据椭圆的定义可得A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（长轴端点除外）．再由a=6且c=3算出b²=a²-c²=27，从而得出此椭圆的方程，进而得到所求轨迹方程．

解答：解：∵B（-3，0）、C（3，0），△ABC的三边AC、BC、AB的长成等差数列，
∴|AC|+|AB|=2|BC|=12＞|BC|，
根据椭圆的定义，可得顶点A的轨迹是以B、C为焦点，长轴长等于12的椭圆（长轴端点除外）．
∵2a=12，2c=12，
∴a=6，c=3，可得b²=a²-c²=27．
因此，顶点A的轨迹方程为

x2

36

+

y2

27

=1（x≠±6）．

点评：本题已知△ABC的顶点B、C的坐标，在三边成等差数列的情况下求顶点A的轨迹方程．着重考查了椭圆的定义、等差数列及其性质、动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．