【题目】已知函数f(x)=emx﹣lnx﹣2.
(1)若m=1,证明:存在唯一实数t∈( ,1),使得f′(t)=0;
(2)求证:存在0<m<1,使得f(x)>0.
【答案】
(1)证明:m=1时,f(x)=ex﹣lnx﹣2,f′(x)=ex﹣ ,x>0.
显然f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又f′( )<0,f′(1)>0,
故存在唯一实数t∈( ,1),使得f′(t)=0
(2)证明:f′(x)=memx﹣ =m(emx﹣ ),
由0<m<1得f′(x)在(0,+∞)上单调递增,
由(1).得mx0=t时,f′(x0)=0,
所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
即f(x)的最小值为f(x0)=f( )=et﹣lnt+lnm﹣2,
∵et﹣ =0,∴et= ,t=﹣lnt.
于是f(x0)=f( )= +t+lnm﹣2,所以当lnm>2﹣( +t)时,f(x)>0.
取k=2﹣( +t)<0,故m∈(ek,1)时成立
【解析】(1)m=1时,化简函数f(x)=ex﹣lnx﹣2,求出函数的导数,判断函数的单调性,通过f′( )<0,f′(1)>0,利用零点判定定理证明即可.(2)求出f′(x)=memx﹣ =m(emx﹣ ),利用由0<m<1得f′(x)在(0,+∞)上单调递增,由(1)得mx0=t时,f′(x0)=0,求出函数单调性以及最值,然后证明即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如下图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)求这18个数据中不超标数据的平均数与方差;
(2)在空气质量为一级的数据中,随机抽取2个数据,求其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据的概率;
(3)以这天的日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按天计算)中约有多少天的空气质量超标.
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【题目】已知圆,圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的方程;
(2)过直线上的点分别作斜率为的两条直线,使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.
(i)求的坐标;
(ⅱ)过任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.
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【题目】设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A. 若∥α,∥β,则α∥βB. 若⊥α,⊥β,则α∥β
C. 若⊥α,∥β,则α∥βD. 若α⊥β,∥α,则⊥β
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【题目】制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
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【题目】某市春节期间7家超市的广告费支出(万元)和销售额(万元)数据如下:
超市 | A | B | C | D | E | F | G |
广告费支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售额 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
(1)若用线性回归模型拟合与的关系,求关于的线性回归方程;
(2)用二次函数回归模型拟合与的关系,可得回归方程:,
经计算二次函数回归模型和线性回归模型的分别约为和,请用说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测超市广告费支出为3万元时的销售额.
参数数据及公式:,,
.
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