已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)增区间,减区间;(2);(3).
解析试题分析:(1)将代入函数解析式,直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间;(2)将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”,结合参数分离法进行求解;(3)构造新函数,将“不等式在区间上恒成立”等价转化为“”,利用导数结合函数单调性围绕进行求解,从而求出实数的取值范围.
试题解析:(1)当时,,
,
解得;解得,
故的单调递增区间是,单调递减区间是;
(2)因为函数在区间上为减函数,
所以对恒成立,
即对恒成立,;
(3)因为当时,不等式恒成立,
即恒成立,设,
只需即可
由,
①当时,,
当时,,函数在上单调递减,故成立;
②当时,令,因为,所以解得,
(i)当,即时,在区间上,
则函数在上单调递增,故在上无最大值,不合题设;
(ii)当时,即时,在区间上;在区间上.
函数在上单调递减,在区间单调递增,同样在无最大值,不满足条件;
③当时,由,故,,
故函数在上单调递减,故成立
综上所述,实数的取值范围是
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=axln x图象上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行,g(x)=x2-tx-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(3)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=lnx-ax(a>0).
(I)当a=2时,求f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+),都有f(x)<0,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,(其中为常数);
(Ⅰ)如果函数和有相同的极值点,求的值;
(Ⅱ)设,问是否存在,使得,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)记函数,若函数有5个不同的零点,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列的前n项和为Sn,对一切正整数n,点在函数的图像上,且过点的切线的斜率为kn.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和Tn.
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