【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(13分)
(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(II)求证:PD⊥平面PBC;
(II)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ)如图,
由已知AD∥BC,
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得 ,
故 .
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为 .
证明:(Ⅱ)因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,
所以AD⊥PD.
又因为BC∥AD,所以PD⊥BC,
又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.
解:(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,
由已知,得CF=BC﹣BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,
在Rt△DCF中,可得 .
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由已知AD∥BC,从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角,由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值. (Ⅱ)由AD⊥平面PDC,得AD⊥PD,由BC∥AD,得PD⊥BC,再由PD⊥PB,得到PD⊥平面PBC.
(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角,由PD⊥平面PBC,得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角,由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex .
(1)当a=2时,求函数f(x)的最值;
(2)当a≠0时,过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线l1 , l2 , 已知两切线的斜率互为倒数,证明: <a<
.
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【题目】在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:
摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱.
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少?
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?
(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?
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【题目】某校高二某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,其可见部分如图所示.据此解答如下问题:
(1)计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(2)根据茎叶图和频率分布直方图估计这次测试的平均分.
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【题目】设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=exf(x).(14分)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0 , y0)处有相同的切线,
(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=sin2x+2 sin2x+1﹣
.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[ ,
]时,若f(x)≥log2t恒成立,求t的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a>1).
(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)的单调区间和极值.
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【题目】在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外界球的半径为( )
A.
B.2
C.3
D.
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