Question

的内切圆与三边的切点分别为,已知，内切圆圆心,设点A的轨迹为R.

（1）求R的方程；
（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

(1) ；(2)存在

解析试题分析：(1)根据切线长定理可得，AB-AC=2.根据双曲线的定义可得点A的轨迹是双曲线的一支，即可得到轨迹方程.
(2)因为恒成立，通过化简可得等价结论，QC为∠MQN的角平分线.由直线MN垂直于x轴，显然存在点Q.当MN不垂直x轴时，依题意所求的结论等价转化于，通过联立方程，利用韦达定理，即可求得点Q的横坐标.
试题解析：（1）设点，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2   
根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故R的方程为
（2）设点由（I）可知


    ①当直线轴时
点在轴上任何一点处都能使得成立
②当直线MN不与轴垂直时，设直线
由得


要使，只需成立即即

即   故,故所求的点Q的坐标为时
使成立.
考点：1.圆的切线长定理.2.双曲线的性质.3.消元，韦达定理，运算能力等.4.等价转化的数学思想.