Question

12．已知锐角△ABC中，A=60°，O是△ABC外接圆的圆心，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$，（x，y∈R），则2x-y的取值范围是（-2，1）．

Answer 1

分析 由题意得∠BOC=120°，-1≤x＜0，-1≤y＜0；从而可得（$\overrightarrow{OA}$）²=（$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$）²，从而可得1=x²+y²-xy，再令y-$\frac{1}{2}$x=-cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-sinα，从而可得-1≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα＜0，-1≤-2sin（α+$\frac{π}{6}$）＜0；再设sinα=m，cosα=n，根据线性规划可以求得2x-y的范围．

解答 解：∵A=60°，∴∠BOC=120°，

∵△ABC为锐角三角形，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$，
∴-1≤x＜0，-1≤y＜0；
∵（$\overrightarrow{OA}$）²=（$\overrightarrow{xOB}$+$\overrightarrow{yOC}$）²，
∴$\overrightarrow{OA}$²=x²•$\overrightarrow{OB}$²+y²$\overrightarrow{OC}$²+2$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$²=x²•$\overrightarrow{OB}$²+y²$\overrightarrow{OC}$²+2|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos120°，
∴1=x²+y²-xy，
∴（y-$\frac{1}{2}$x）²+$\frac{3}{4}$x²=1，
令y-$\frac{1}{2}$x=-cosα，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=-sinα，
∴x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα-cosα，
设sinα=m，cosα=n，
∴-1≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m＜0，-1≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-n＜0；
则2x-y=-$\sqrt{3}$sinα+cosα=-$\sqrt{3}$m+n，如图所示，
∴当m=0，n=1时，z=1，为最大值；当m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=-$\frac{1}{2}$时，z=-2，取最小值．
故答案为：（-2，1）．

点评 本题考查了平面向量与三角函数的综合应用及数形结合的思想应用．