Question

（本小题满分12分）已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＝1(＞＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方

的动点，直线AS、BS与直线l：x＝分别交于M、N两点．

（1）求椭圆C的方程；                     

（2）求线段MN的长度的最小值；

（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）＋y2＝1

（2）

（3）当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使△TSB的面积为

【解析】解析：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，

∴a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1………..4分

(2)直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M，

由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

设S(x1，y1)，则(－2)·x1＝得x1＝，

从而y1＝，

即S，又B(2,0)，

由得，

∴N，

故|MN|＝，

又k＞0，∴|MN|＝＋≥2＝.

当且仅当＝，即k＝时等号成立．

∴k＝时，线段MN的长度取最小值………8分

(3)由(2)可知，当MN取最小值时，k＝，

此时BS的方程为x＋y－2＝0，S，∴|BS|＝，

要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，

所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上．

设直线l′：x＋y＋t＝0，

则由＝，解得t＝－或t＝－.

①当t＝－时，由得5x2－12x＋5＝0，

由于Δ＝44＞0，故l′与椭圆C有两个不同的支点；

②当t＝－时，由得5x2－20x＋21＝0，

由于Δ＝－20＜0，故直线l′与椭圆没有交点．

综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使△TSB的面积为………12分