Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若f'（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
③m≥-1，则函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R；
④“a=1”是“函数f(x)=

a-ex

1+aex

在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
其中真命题是

 

（把你认为正确的命题序号都填在横线上）

Answer 1

分析：①结合零点判定定理②结合极值存在条件：该点导数为0，且两侧导函数导数值符号相反③结合对数函数的值域，要求x²-2x-m取到所有的正数④根据函数奇偶性的定义验证f（x）与f（-x）的关系．

解答：解：①结合零点判定定理：f（1）•f（e）＜0可知①正确
②f（x）=x³，f′（0）=0，但函数f（x）=x³在R递增，无极值点②错误
③y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R，则4+4m≥0，解得m≥-1，③正确
④a=1，f(x)=

1-ex

1+ex

，f(-x)=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f(x)，正确
故答案为：①③④

点评：本题考查了函数的相关性质的运用：零点判定定理，函数在某点取得极值的条件，对数函数与二次函数的复合函数的值域，奇偶性的判断，属于基础知识的运用，要求考生熟练掌握各知识点，灵活运用．