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【题目】已知椭圆的离心率为分别为其左、右焦点,为椭圆上一点,且的周长为.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点作关于轴对称的两条不同的直线,若直线交椭圆于一点,直线交椭圆于一点,证明:直线过定点.

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

(1)根据椭圆的离心率为,及的周长为,列出方程组,求得的值,即可得到椭圆的方程;

(2)设直线方程为,联立方程组,利用二次方程根与系数的关系,求得,又由关于轴对称的两条不同直线的斜率只和为,化简、求得,得到直线方程,即可作出证明.

(1)根据椭圆的离心率为,及的周长为

可得,解得,所以故椭圆的方程为.

(2)证明:设直线方程为.

联立方程组,整理得

所以.

因为关于轴对称的两条不同直线的斜率只和为

所以,即

所以

所以,所以.

所以直线方程为,所以直线过定点.

练习册系列答案
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