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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)当x∈[-2,k]时,求函数f(x)的最小值.

解:(Ⅰ)依题意,把点(0,1)代入函数的解析式求得c=1,
再由,b2-4ac=0.解得a=1,b=2,c=1,
从而f(x)=x2+2x+1.
(Ⅱ)如图所示:当-2<k≤-1时,最小值为f(k)=k2+2k+1.
当k>-1时,最小值为f(-1)=-2.
分析:(Ⅰ)依题意可得c=1,再由,b2-4ac0=0求出a=1,b=2,c=1,从而得到f(x)的表达式.
(Ⅱ)如图所示:当-2<k≤-1时,最小值为f(k),当k>-1时,最小值为f(-1).
点评:本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,用待定系数法求函数的解析式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函数的图象经过原点,且满足f(2)=0,求实数m的值.
(Ⅱ)若函数在区间[2,+∞)上为增函数,求m的取值范围.

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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1),且与x轴有唯一的交点(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],记此函数的最小值为g(k),求g(k)的解析式.

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(2)若记区间[a,b]的长度为b-a.问:是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且D的长度为12-t?请对你所得的结论给出证明.

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(2013•广州一模)已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(2)已知二次函数f(x)的图象的顶点是(-1,2),且经过原点,求f(x)的解析式.

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