Question

7．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（3）解不等式：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的图象关于原点对称，便知该函数为奇函数，从而f（-x）=-f（x），这样可得到$lo{g}_{a}\frac{1+mx}{-x-1}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1-mx}$，可解出m=±1，根据真数大于0可得出a=-1；
（2）先写出$f（x）=lo{g}_{a}（1+\frac{2}{x-1}）$，根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后对真数作差，经通分可得出：$1+\frac{2}{{x}_{1}-1}＜1+\frac{2}{{x}_{2}-1}$，从而讨论a：0＜a＜1，和a＞1，根据对数函数的单调性从而判断出f（x₁）与f（x₂）的关系，从而判断出函数f（x）的单调性；
（3）写出f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}$，讨论a的取值：分0＜a＜1，和a＞1两种情况，然后根据对数函数的单调性即可得出关于x的分式不等式，解分式不等式即得原不等式的解集．

解答 解：（1）根据f（x）的图象关于原点对称知，f（x）为奇函数；
∴f（-x）=-f（x）；
即$lo{g}_{a}\frac{1+mx}{-x-1}=-lo{g}_{a}\frac{1-mx}{x-1}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1-mx}$；
∴$\frac{1+mx}{-x-1}=\frac{x-1}{1-mx}$；
∴1-m²x²=1-x²；
∴m²=1；
∵$\frac{1-mx}{x-1}＞0$；
∴m=-1；
（2）$f（x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}$=$lo{g}_{a}（1+\frac{2}{x-1}）$，设x₁＞x₂＞1，则：
$1+\frac{2}{{x}_{1}-1}-（1+\frac{2}{{x}_{2}-1}）=\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴$1+\frac{2}{{x}_{1}-1}＜1+\frac{2}{{x}_{2}-1}$；
∴①0＜a＜1时，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（1，+∞）上为增函数；
②a＞1时，f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（1，+∞）上为减函数；
（3）$f（x）=lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}$；
①若0＜a＜1，y=log_ax为减函数，由f（x）＞0得：
$lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}＞lo{g}_{a}1$；
$0＜\frac{1+x}{x-1}＜1$；
解得x＜-1；
∴原不等式的解集为（-∞，-1）；
②若a＞1，y=log_ax为增函数，由f（x）＞0得：
$lo{g}_{a}\frac{1+x}{x-1}＞lo{g}_{a}1$；
∴$\frac{1+x}{x-1}＞1$；
解得x＞1；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．

点评 考查奇函数图象的对称性，奇函数的定义，对数的真数大于0，函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法，对于对数型函数，可对x₁，x₂对应真数值进行比较，对数函数的单调性，以及解分式不等式．