精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知点P是椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,椭圆短轴长为2,F1,F2是椭圆的两个焦点,|OP|==(点O为坐标原点).
(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;
(Ⅱ)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使+,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)利用椭圆短轴长为2,求b.利用,|OP|==,可求c,进而求出椭圆方程和离心率.
(Ⅱ)将直线方程和椭圆方程联立,进行消元,转化为一元二次方程问题,然后利用根与系数之间的关系进行求解.
解答:解:(Ⅰ)设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0)由|OP|=,得,…(1分)
=,即…(2分)
所以c=,又因为短轴长为2,所以b=1,所以离心率e=,…(4分)
椭圆C的方程为:;…(6分)
(Ⅱ)解法一:由,设直线MN的方程为y=kx+m,
联立方程组消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0…(7分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),则…(8分)
所以

因为+,λ∈(0,2),所以
,于是…(9分)
所以…(10分)
又因为λ>0,原点O到直线MN的距离为   所以=
,即时等号成立,S△OMN的最大值为…(13分)
点评:本题主要考查了椭圆的方程和性质,以及直线与椭圆的位置关系.综合性较强,运算量较大.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是椭圆C:
x2
8
+
y2
4
=1
上的动点,F1,F2分别为左、右焦点,O为坐标原点,则
||PF1|-|PF2||
|OP|
的取值范围是(  )
A、[0,
2
2
]
B、[0,2)
C、(
1
2
2
2
]
D、[0,
2
]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•鹰潭一模)已知点P是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的点,椭圆短轴长为2,F1,F2是椭圆的两个焦点,|OP|=
10
2
PF1
PF2
=
1
2
(点O为坐标原点).
(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;
(Ⅱ)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使
OM
+
ON
OA
,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012届江苏省第一学期期末考试高二数学试题 题型:填空题

已知点P是椭圆C:上的动点,F1F2分别为左、右焦点,O为坐标原点,则的取值范围是

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知点P是椭圆C:
x2
8
+
y2
4
=1
上的动点,F1,F2分别为左、右焦点,O为坐标原点,则
||PF1|-|PF2||
|OP|
的取值范围是(  )
A.[0,
2
2
]
B.[0,2)C.(
1
2
2
2
]
D.[0,
2
]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖南省邵阳市洞口二中高三(下)集中训练数学试卷3(理科)(解析版) 题型:选择题

已知点P是椭圆C:上的动点,F1,F2分别为左、右焦点,O为坐标原点,则的取值范围是( )
A.
B.[0,2)
C.
D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案