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    在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆
    x2
    9
    +
    y2
    5
    =1    的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0
    （1）设动点P满足(
    PF
    +
    PB
    )(
    PF
    -
    PB
    )=13    ，求点P的轨迹方程；
    （2）设x1=2，x2=
    1
    3
    ，求点T的坐标；
    （3）若点T在点P的轨迹上运动，问直线MN是否经过x轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
    （1）由椭圆
    x2
    9
    +
    y2
    5
    =1    可得：a2=9，b2=5，c=
    		9-5
    =2．
    ∴F（2，0），B（3，0）．
    设P（x，y），则
    PF
    =（2-x，-y），
    PB
    =（3-x，-y）．
    ∵满足(
    PF
    +
    PB
    )•(
    PF
    -
    PB
    )=13    ，
    ∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
    ∴2x-5=13，
    化简得x=9，
    故P的轨迹方程为x=9
    （2）由x1=2，
    x21
    9
    +
    y21
    5
    =1    及y1＞0得y1=
    5
    3
    ，则点M(2，
    5
    3
    )    ，
    从而直线AM的方程为y=
    1
    3
    x+1    ；
    同理可以求得直线BN的方程为y=
    5
    6
    x-
    5
    2

    联立两方程可解得x=7，y=
    10
    3

    ∴点T的坐标为(7，
    10
    3
    )    ．
    （3）假设直线MN过定点，由T在点P的轨迹上，T（9，m）
    直线AT的方程为y=
    m
    12
    (x+3)    ，直线BT的方程为y=
    m
    6
    (x-3)
    点M（x1，y1）满足
    y1=
    m
    12
    (x1+3)
    x21
    9
    +
    y21
    5
    =1
    得
    (x1-3)(x1+3)
    9
    =-
    m2
    122
    •
    (x1+3)2
    5
    ，
    又x1≠3，解得x1=
    240-3m2
    80+m2
    ，从而得y1=
    40m
    80+m2
    ．
    同理：x2=
    3m2-60
    m2+20
    ，y2=
    -20m
    m2+20
    ．
    ∴直线MN的方程：y+
    20m
    m2+20
    =
    10m
    40-m2
    (x-
    3m2-60
    m2+20
    )    ，
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，点F是椭圆W：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
    1
    2
    ，三角形ABF的面积为
    3
    		3
    2
    ，
    （Ⅰ）求椭圆W的方程；
    （Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
    （Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N（M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
    （Ⅰ）求双曲线C2的方程；
    （Ⅱ）以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）2+y2=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与圆M，N相交，且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为
    		3
    ：1    ，试求所有满足条件的点P的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知直线与椭圆
    x2
    9
    +
    y2
    4
    =1    交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），经过点（3，-2）与向量（-1，1）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又
    AM
    =2
    MB
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C长轴长的取值范围；
    （Ⅱ）若|
    AB
    |=
    3
    		2
    2
    ，求椭圆C的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线l：y=k(x-
    		2
    )    与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点，则实数k的值为（　　）
    A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知离心率为
    		6
    3
    的椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB=120°，C在AB上方，如图所示，
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）是否存在过交点B，斜率存在且不为0的直线l，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    一束光线从点（0，1）出发，经过直线x+y-2=0反射后，恰好与椭圆x2+
    y2
    2
    =1    相切，则反射光线所在的直线方程为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线y2=2px（p＞0）上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2．
    （Ⅰ）求p的值；
    （Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的
    1
    2
    ，求直线MB的方程．

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