Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C₁B₁；
（Ⅱ）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，得到AD⊥CC₁又已知AD⊥C₁D，利用线面垂直的判断定理得到结论．
（Ⅱ）由（1）得到D是BC的中点，所以当=1，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁，利用平行四边形的对边平行得到A₁E∥AD，然后利用线面平行的判定定理得到证明．
解答：解：（Ⅰ）在正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，
∴AD⊥CC₁．                   …（2分）
又AD⊥C₁D，CC₁交C₁D于C₁，且CC₁和C₁D都在面BCC₁B₁内，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．            …（5分）
（Ⅱ）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…（7分）
当=1，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁．…（8分）
事实上，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形BC C₁B₁是矩形，且D、E分别是BC，BC₁B₁的中点，
所以BB₁∥DE且BB₁=DE．…（10分）
又BB₁∥AA₁，且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE，且AA₁=DE．     …（12分）
所以四边形AA₁DE为平行四边形，所以A₁E∥AD．
而A₁E在平面ADC₁外，故A₁E∥平面ADC₁． …（14分）
点评：本题考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理；证明线线平行的方法常用：中位线、平行四边形等，属于中档题．