Question

（文）如图所示：已知椭圆C：，F₁、F₂为其左、右焦点，A为右顶点，过F₁的直线l与椭圆相交于P、Q两点，且有．
（1）求椭圆长半轴长a的取值范围；
（2）若，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

解：（文）（1）若直线l与x轴垂直，容易得到
若直线l与x轴不垂直，则如图分别过点P、Q
作左准线的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，
得到：，
∵△PF₁F∽△PQS
∴=a|PF₁|•|QF₁|-a|PF₁|²
所以…（4分）
从而有：，所以a²＞a＞0得到：a＞1； …（6分）
（2）设直线l的方程为x=my-c代入椭圆方程得到：（a²+b²m²）y²-2b²cmy-b⁴=0，
设，则有：，
所以，
，…（9分）
得到
=
，…（12分）
当时，m²随着a增大而增大，所以，
所以斜率k满足：，
所以斜率的取值范围是 …（14分）
分析：（1）分类讨论：若直线l与x轴垂直，容易得到；若直线l与x轴不垂直，则如图分别过点P、Q，作左准线的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，利用△PF₁F∽△PQS得出比例式，从而有：，所以a²＞a＞0，得到a的取值范围；
（2）设直线l的方程为x=my-c代入椭圆方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积公式即可求得m与a的关系式，再利用m² 的范围，从而求直线l的斜率的取值范围．
点评：本小题主要考查直线的斜率、椭圆的简单性质、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．