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已知向量
a
=(
2
sinx
-1
sinx
),
b
=(1,cos2x)
x∈(0,
π
2
]

(Ⅰ)若
a
b
是两个共线向量,求x的值;
(Ⅱ)若f(x)=
a
b
,求函数f(x)的最小值及相应的x的值.
分析:(Ⅰ)利用向量共线的充要条件列出三角方程,求出cos2x的值,根据角的范围求出角x.
(Ⅱ)利用向量的数量积求出函数f(x),利用二倍角公式化简f(x),利用基本不等式求出函数的最小值.
解答:解:(Ⅰ)∵
a
b

2cos2x
sinx
=-
1
sinx

又∵x∈(0,
π
2
]

∴sinx≠0,2x∈(0,π]
cos2x=-
1
2
2x=
3

x=
π
3

(Ⅱ)f(x)=
a
b
=
2-cos2x
sinx
=
1+2sin2x
sinx
=2sinx+
1
sinx
≥2
2

当且仅当2sinx=
1
sinx
sinx=
2
2
时取到等号.
故函数f(x)的最小值为2
2
,此时x=
π
4
点评:本题考查向量共线的充要条件、解三角方程、向量的数量积公式、利用基本不等式求最值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,2cosx)
,定义函数f(x)=
a
b
-1

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间;
(Ⅲ)在答卷的坐标系中画出函数g(x)=f(x),x∈[-
π
12
11π
12
]
的简图,并由图象写出g(x)的对称轴和对称中心.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2005•东城区一模)已知向量
a
=(2sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,2cosx),定义函数f(x)=
a
b
-1

(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调减区间;
(3)画出函数g(x)=f(x),x∈[-
12
12
]
的图象,由图象研究并写出g(x)的对称轴和对称中心.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2sinx,cosx)
b
=(cosx,2cosx)

(1)求f(x)=
a
b
,并求f(x)的单调递增区间.
(2)若
c
=(2,1)
,且
a
-
b
c
共线,x为第二象限角,求(
a
+
b
)•
c
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2sinx,sinx-cosx)
b
=(cosx,
3
(cosx+sinx))
,函数f(x)=
a
b
+1

(1)当x∈(
π
4
π
2
)
时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求f(x)的单调区间.

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