【题目】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,,,点M是EC的中点.
(1)求证:平面ADEF平面BDE.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)由勾股定理可得BD⊥AD,再利用面面垂直的性质可得ED⊥BD,结论得证;
(2)建立直角坐标系,分别求出平面BDE和平面BDM的法向量,利用空间向量求其二面角可得答案.
解:(1)由题可知AD=BD=2,AB=则AD2+BD2=AB,
根据勾股定理有BD⊥AD,
又因正方形ADEF 与梯形ABCD所在平面互相垂直,则ED⊥平面ABCD,
则ED⊥BD,而AD∩ED=D,所以BD⊥平面ADEF.
而BD平面BDE,所以平面ADEF⊥平面BDE.
(2)以D为坐标原点,分别以DA,DB,DE为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
由题可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(0.2,0),E(0,0,2),C(-2,2,0),M(-,,1).
由(1)可得AD⊥平面BDE,则可取平面BDE的法向量,设平面BDM的法向量为,=(-,,1),=(0,2,0),
由·=0,·=0,.可得
可取=(,0,2),则.
设二面角E-BD-M的平面角为α,显然α为锐角,
故
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【题目】已知抛物线:的焦点为,准线为,与轴的交点为,点在抛物线上,过点作于点,如图1.已知,且四边形的面积为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若正方形的三个顶点,,都在抛物线上(如图2),求正方形面积的最小值.
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【题目】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一~五组区间分别为,,,,,).
(1)求选取的市民年龄在内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
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【题目】南方智运汽车公司在我市推出了共享汽车“Warmcar”,有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车,其中一种租用方式“分时计费”规则为:0.15元/分钟+0.8元/公里.已知小李家离上班地点为10公里,每天租用该款汽车上、下班各一次,由于堵车、及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间(分钟)是一个随机变量,现统计了100次路上开车花费时间,在各时间段内是频数分布情况如下表所示:
时间(分钟) | |||||||
频数 | 2 | 6 | 14 | 36 | 28 | 10 | 4 |
(1)写出小李上班一次租车费用(元)与用车时间(分钟)的函数关系;
(2)根据上面表格估计小李平均每次租车费用;
(3)“众泰云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”,规则为每个月收取租金2350元,若小李每个月上班时间平均按21天计算,在不计电费和情况下,请你为小李选择一种省钱的租车方式.
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【题目】如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列说法错误的是( )
A. 当点移动至中点时,直线与平面所成角最大且为
B. 无论点在上怎么移动,都有
C. 当点移动至中点时,才有与相交于一点,记为点,且
D. 无论点在上怎么移动,异面直线与所成角都不可能是
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