Question

若直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x-y=0对称，动点P（a，b）在不等式组

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域内部及边界上运动，则w=

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、（-∞，-2]
• C、[-2，2]
• D、（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：先依据已知条件结合圆的特点求出k，m的值，再根据条件画出可行域，w=

b-2

a-1

，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内点和点（1，2）连线的斜率的最值，从而得到w的取值范围即可．

解答：解：∵M，N是圆上两点，且M，N关于直线x-y=0对称，
∴直线x-y=0经过圆的圆心（-

k

2

，-

m

2

），且直线x-y=0与直线y=kx+1垂直．
∴k=m=-1．
∴约束条件为：

-x-y+2≥0 -x+y≤0 y≥0

根据约束条件画出可行域，
w=

b-2

a-1

，表示可行域内点Q和点P（1，2）连线的斜率的最值，
当Q点在原点O时，直线PQ的斜率为2，当Q点在可行域内的点B处时，直线PQ的斜率为-2，
结合直线PQ的位置可得，当点Q在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：
（-∞，-2]∪[2，+∞）
从而得到w的取值范围（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故选D．

点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．