Question

已知函数f(x)=-x+3x+9x+a
⑴求f(x)的单调递减区间；⑵若f(x)在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

Answer 1

（1）递减区间：（-，-1），（3，+）
（2）最小值是-7

解析试题分析：解：（I）f′（x）=-3x²+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）
（II）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（-2）．因为在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上单调递增，又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．故f（x）=-x³+3x²+9x-2，因此f（-1）=1+3-9-2=-7，即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-7
考点：导函数的正负与原函数的单调性
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．