Question

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，对其进行求导，然后分别求出f（x）与g（x）与坐标轴的交点，根据f′（0）=g′（a），求出a值，从而求解；
（2）由题意g（x）≠0，可得x＞0，x≠1，分两种情况进行求解①当x∈（1，+∞）时；②当x∈（0，1）时；利用导数的研究函数的单调性，从而求解；

解答：解：（1）∵函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，
∴f/(x)=aex，g/(x)=

1

x

∴y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0）
由题意得f′（0）=g′（a），即a=

1

a

，
又∵a＞0，
∴a=1，
∴g（x）=lnx
（2）由题意g（x）≠0，
∴x＞0，x≠1
当x∈（1，+∞）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，
∴φ/(x)=

2 x -lnx-2

2 x

令h（x）=2

x

-lnx-2，
∴h/(x)=

1

x

(1-

1

x

)
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0
由m＜x-

x

lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，得m≤φ（1）=1
当x∈（0，1）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx
可得φ/(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴φ（x）单调递增．
由m＞x-

x

lnx=φ(x)在x∈（0，1）上恒成立，
得m≥φ（1）=1，
综上，可知m=1；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的恒成立问题的转化，是一道综合性比较强的题，注意分类讨论思想的应用，此题是一道中档题；