Question

13．如图．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別AB，BC的中点，A₁C₁与B₁D₁交于点O．
（1）求证：A₁，C₁，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A₁E，求证：OD丄平面A₁C₁FE．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由EF是△ABC的中位线，可得EF∥AC，又AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，可证AC∥A₁C₁，从而可证EF∥A₁C₁，即A₁，C₁，F，E四点共面；
（2）连接BD，可证DD₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥B₁D₁，可证A₁C₁⊥平面BB₁DD₁，可得OD⊥A₁C₁，结合OD⊥A₁E，即可证明OD⊥平面A₁C₁FE．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC，
由直棱柱知：AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，所以四边形AA₁C₁C为平行四边形，所以AC∥A₁C₁，…5分
所以EF∥A₁C₁，
故A₁，C₁，F，E四点共面；…7分，
（2）连接BD，因为直棱柱中DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以DD₁⊥A₁C₁，
因为底面A₁B₁C₁D₁是菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，
又DD₁∩B₁D_1⁼D₁，所以A₁C₁⊥平面BB₁DD₁，…11分
因为OD?平面BB₁DD₁，
所以OD⊥A₁C₁，
又OD⊥A₁E，A₁C₁∩A₁E=A₁，A₁C₁?平面A₁C₁FE，A₁E?平面A₁C₁FE，
所以OD⊥平面A₁C₁FE…14分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，线面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．