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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
6
3
,椭圆短轴长为
2
15
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
,求斜率k的值;
②若点M(-
7
3
,0),求证:
MA
MB
为定值.
分析:(Ⅰ)由
c
a
=
6
3
,2b=
2
15
3
及a2=b2+c2联立即可解得a2,b2值;
(Ⅱ)(1)将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程,由韦达定理得x1+x2=-
6k2
3k2+1
,再由AB中点的横坐标为-
1
2
,可得关于k的方程,解出即可;
(2)利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
MA
MB
为定值.
解答:解:(Ⅰ)因为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)满足a2=b2+c2①,
c
a
=
6
3
②,2b=
2
15
3
③.联立①②③,
解得a2=5,b2=
5
3

所以椭圆方程为
x2
5
+
y2
5
3
=1.
(Ⅱ)(1)将y=k(x+1)代入
x2
5
+
y2
5
3
=1中,得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-
6k2
3k2+1

因为AB中点的横坐标为-
1
2
,所以-
6k2
3k2+1
=-
1
2
,解得k=±
3
3

(2)由(1)知x1+x2=-
6k2
3k2+1
x1x2=
3k2-5
3k2+1

所以
MA
MB
=(x1+
7
3
,y1)(x2+
7
3
,y2)=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+y1y2
=(x1+
7
3
)(x2+
7
3
)+k2(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(
7
3
+k2)(x1+x2)+
49
9
+k2
=(1+k2
3k2-5
3k2+1
+(
7
3
+k2
)(-
6k2
3k2+1
)+
49
9
+k2=
4
9
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算,考查学生的运算变形能力,考查学生分析解决问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

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