Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（1）已知f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y=2x-1，求实数a，b的值．
（2）若方程f（x）=λx²（λ＞0）有唯一实数解，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y=2x-1，建立方程组，从而可求实数a，b的值；
（2）因为方程f（x）=λx²有唯一实数解，所以λx²-lnx-x=0有唯一实数解，构造函数g（x）=λx²-lnx-x，利用g（x）=0有唯一解，再构造函数h（x）=2lnx+x-1，利用h（1）=0，可得方程的解，从而可求实数λ的值．

解答：解：（1）当x=1时，y=1，∴f(1)=-

1

2

a-b=1．
∵f′(x)=

1

x

-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．…（4分）
（2）因为方程f（x）=λx²有唯一实数解，所以λx²-lnx-x=0有唯一实数解．…（6分）
设g（x）=λx²-lnx-x，则g′(x)=

2λx2-x-1

x

．
令g'（x）=0，则2λx²-x-1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，方程有两异号根，设为x₁＜0，x₂＞0，因为x＞0，所以x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（8分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

λ x 2 2 -lnx2-x2=0 2λ x 2 2 -x2-1=0.

…（10分）
因为λ＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1．因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1．
代入方程组解得λ=1．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查方程解的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．