(本题满分14分)已知x=1是函数f(x)=mx-3(m+1)x
+nx+1的一个极值点,其中m、n∈R, m<0.(1)求m与n的关系表达式;(2)求f (x)的单调区间;(3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
(Ⅰ) n=3m+6. (Ⅱ) 略(Ⅲ)-<m<0.
(1)f′(x)=3mx-6(m+1)x+n.因为x=1是f (x)的一个极值点,所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0,
所以f′(1)=0.即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6.
(2)由(1)知,f′(x)=3mx-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1-
)].
(ⅰ)当m<0时,有1>1+,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表:
X | | | | 1 | (1,+ |
f′(x) | <0 | 0 | >0 | 0 | <0 |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+)单调递减,在(1+
,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.
(3)解法一:由已知,得f′(x)>3m,即mx-2(m+1)x+2>0.
∵m<0,∴x-
(m+1)x+
<0. 即x
-2(1+
)x+
<0,x∈[-1,1].(*)
设g(x)=x-2(1+
)x+
,其函数图象的开口向上.
由题意(*)式恒成立.∴,又m<0.
∴-<m<0.即m的取值范围是-
<m<0.
解法二:由已知,得f′(x)>3m, 即3m(x-1)[x-(1+)]>3m.∵m<0,∴(x-1)
<1(*)
(ⅰ)x=1时(*)式化成0<1恒成立,∴m<0.(ⅱ)x≠1时,∵x∈[-1,1],∴-2≤x-1<0.
(*)式化为<(x-1)-
,令t=x-1,则t∈[-2,0],记g(t)=t-
,则g(t)在区间[-2,0]是单调增函数.
∴g(t)=g(-2)=-2-
=-
.由(*)式恒成立,必有
<-
-
<m,又m<0.∴-
<m<0.
综合(ⅰ)(ⅱ)知-<m<0.
科目:高中数学 来源:2012-2013学年吉林省高三第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分14分)已知函数
(1)若,求x的值;
(2)若对于
恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省惠州市高三第三次调研考试数学理卷 题型:解答题
(本题满分14分)
已知椭圆:
的离心率为
,过坐标原点
且斜率为
的直线
与
相交于
、
,
.
⑴求、
的值;
⑵若动圆与椭圆
和直线
都没有公共点,试求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省惠州市高三第三次调研考试数学理卷 题型:解答题
((本题满分14分)
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE = x,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF
(如图).
(1)当x=2时,求证:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,
求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.
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