Question

已知椭圆C：=1 （a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列
∴2b²=a²+c²=a²+1
∵a²-b²=c²=1
∴a²=3，b²=2
∴椭圆的方程为=1；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x²-6x-3=0，∴
∴弦AB的长度为=；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：=1联立，消去y可得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴2•-+1=0
∴b²=
∴c²=a²-b²=
∴=
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，
∴
∴
∴
∴椭圆长轴长的取值范围为．
分析：（1）利用椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，建立等式，结合a²-b²=c²=1，即可求得椭圆的方程；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x²-6x-3=0，再利用弦长公式，即可求得结论；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：=1联立，消去y，利用韦达定理及以AB为直径的圆经过坐标原点O，用a表示出离心率，结合椭圆的离心率e满足≤e≤，即可求得椭圆长轴长的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查椭圆的几何性质，属于中档题．