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(本题满分14分)
已知椭圆的离心率为,直线过点,且与椭圆相切于点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点,使得
?若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解: (Ⅰ)由题得过两点直线的方程为.………… 1分
因为,所以.
设椭圆方程为,
消去得,.
又因为直线与椭圆相切,所以,解得.
所以椭圆方程为.    ……………………………………………… 5分
(Ⅱ)易知直线的斜率存在,设直线的方程为,…………………… 6分
消去,整理得. ………… 7分
由题意知
解得.  ……………………………………………………………… 8分
,则.     …… 9分
又直线与椭圆相切,
解得,所以. ……………………………10分
. 所以.






所以,解得.经检验成立.  …………………… 13分
所以直线的方程为.  …………………………………… 14分
 
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